逻辑回归概述

  转载自:http://goo.gl/6thpQ

  Logistic regression (逻辑回归)是当前业界比较常用的机器学习方法,用于估计某种事物的可能性。比如某用户购买某商品的可能性,某病人患有某种疾病的可能性,以及某广告被用户点击的可能性等。(注意这里是:“可能性”,而非数学上的“概率”,logisitc回归的结果并非数学定义中的概率值,不可以直接当做概率值来用。该结果往往用于和其他特征值加权求和,而非直接相乘)

  那么它究竟是什么样的一个东西,又有哪些适用情况和不适用情况呢?

一. 官方定义:

  Figure 1. The logistic function, with z on the horizontal axis and ƒ(z) on the vertical axis

  逻辑回归是一个学习f:X− > Y 方程或者P(Y|X)的方法,这里Y是离散取值的,X= < X1,X2…,Xn > 是任意一个向量其中每个变量离散或者连续取值。

二. 我的解释

  只看公式太痛苦了,分开说一下就好。Logistic Regression 有三个主要组成部分:回归、线性回归、Logsitic方程。

  1)回归

  Logistic Regression 是线性回归的一种,线性回归是一种回归。那么回归是什么呢?

  回归其实就是对已知公式的未知参数进行估计。大家可以简单的理解为,在给定训练样本点和已知的公式后,对于一个或多个未知参数,机器会自动枚举参数的所有可能取值(对于多个参数要枚举它们的不同组合),直到找到那个最符合样本点分布的参数(或参数组合)。(当然,实际运算有一些优化算法,肯定不会去枚举的)

  注意,回归的前提是公式已知,否则回归无法进行。而现实生活中哪里有已知的公式啊(G=m*g 也是牛顿被苹果砸了脑袋之后碰巧想出来的不是?哈哈),因此回归中的公式基本都是数据分析人员通过看大量数据后猜测的(其实大多数是拍脑袋想出来的,嗯…)。根据这些公式的不同,回归分为线性回归和非线性回归。线性回归中公式都是“一次”的(一元一次方程,二元一次方程…),而非线性则可以有各种形式(N元N次方程,log方程 等等)。具体的例子在线性回归中介绍吧。

  2)线性回归

  直接来一个最简单的一元变量的例子:假设要找一个 y 和 x 之间的规律,其中 x 是鞋子价钱,y 是鞋子的销售量。(为什么要找这个规律呢?这样的话可以帮助定价来赚更多的钱嘛,小学的应用题经常做的呵呵)。已知一些往年的销售数据(x0,y0), (x1, y1), … (xn, yn)做样本集, 并假设它们满足线性关系:y = a*x + b (其中a,b的具体取值还不确定),线性回归即根据往年数据找出最佳的 a, b 取值,使 y = a * x + b 在所有样本集上误差最小。

  也许你会觉得…..晕!这么简单! 这需要哪门子的回归呀!我自己在草纸上画个xy坐标系,点几个点就能画出来!(好吧,我承认我们初中时都被这样的画图题折磨过)。事实上一元变量的确很直观,但如果是多元就难以直观的看出来了。比如说除了鞋子的价格外,鞋子的质量,广告的投入,店铺所在街区的人流量都会影响销量,我们想得到这样的公式:sell = a*x + b*y + c*z + d*zz + e。这个时候画图就画不出来了,规律也十分难找,那么交给线性回归去做就好。(线性回归具体是怎么做的请参考相应文献,都是一些数学公式,对程序员来说,我们就把它当成一条程序命令就好)。这就是线性回归算法的价值。

  需要注意的是,这里线性回归能过获得好效果的前提是y = a*x + b 至少从总体上是有道理的(因为我们认为鞋子越贵,卖的数量越少,越便宜卖的越多。另外鞋子质量、广告投入、客流量等都有类似规律);但并不是所有类型的变量都适合用线性回归,比如说x不是鞋子的价格,而是鞋子的尺码),那么无论回归出什么样的(a,b),错误率都会极高(因为事实上尺码太大或尺码太小都会减少销量)。总之:如果我们的公式假设是错的,任何回归都得不到好结果。

  3)Logistic方程

  上面我们的sell是一个具体的实数值,然而很多情况下,我们需要回归产生一个类似概率值的0~1之间的数值(比如某一双鞋子今天能否卖出去?或者某一个广告能否被用户点击? 我们希望得到这个数值来帮助决策鞋子上不上架,以及广告展不展示)。这个数值必须是0~1之间,但sell显然不满足这个区间要求。于是引入了Logistic方程,来做归一化。这里再次说明,该数值并不是数学中定义的概率值。那么既然得到的并不是概率值,为什么我们还要费这个劲把数值归一化为0~1之间呢?归一化的好处在于数值具备可比性和收敛的边界,这样当你在其上继续运算时(比如你不仅仅是关心鞋子的销量,而是要对鞋子卖出的可能、当地治安情况、当地运输成本 等多个要素之间加权求和,用综合的加和结果决策是否在此地开鞋店时),归一化能够保证此次得到的结果不会因为边界 太大/太小 导致 覆盖其他feature 或 被其他feature覆盖。(举个极端的例子,如果鞋子销量最低为100,但最好时能卖无限多个,而当地治安状况是用0~1之间的数值表述的,如果两者直接求和治安状况就完全被忽略了)这是用logistic回归而非直接线性回归的主要原因。到了这里,也许你已经开始意识到,没错,Logistic Regression 就是一个被 Logistic 方程归一化后的线性回归,仅此而已。

  至于所以用 Logistic 而不用其它,是因为这种归一化的方法往往比较合理(人家都说自己叫Logistic 了嘛,呵呵),能够打压过大和过小的结果(往往是噪音),以保证主流的结果不至于被忽视。具体的公式及图形见本文的一、官方定义部分。其中 f(X) 就是我们上面例子中的 sell 的实数值了,而 y 就是得到的0~1之间的卖出可能性数值了。

三. Logistic Regression的适用性

  1) 可用于概率预测,也可用于分类。

  并不是所有的机器学习方法都可以做可能性概率预测(比如 SVM 就不行,它只能得到1或者-1)。可能性预测的好处是结果又可比性:比如我们得到不同广告被点击的可能性后,就可以展现点击可能性最大的 N 个。这样以来,哪怕得到的可能性都很高,或者可能性都很低,我们都能取最优的topN。当用于分类问题时,仅需要设定一个阈值即可,可能性高于阈值是一类,低于阈值是另一类。

  2) 仅能用于线性问题

  只有在 feature 和 target 是线性关系时,才能用 Logistic Regression(不像SVM那样可以应对非线性问题)。这有两点指导意义,一方面当预先知道模型非线性时,果断不使用 Logistic Regression; 另一方面,在使用 Logistic Regression 时注意选择和 target 呈线性关系的 feature。

  3) 各feature之间不需要满足条件独立假设,但各个feature的贡献是独立计算的。

  逻辑回归不像朴素贝叶斯一样需要满足条件独立假设(因为它没有求后验概率)。但每个feature的贡献是独立计算的,即LR是不会自动帮你 combine 不同的 features 产生新 feature 的 (时刻不能抱有这种幻想,那是决策树,LSA,pLSA,LDA或者你自己要干的事情)。举个例子,如果你需要TF*IDF这样的feature,就必须明确的给出来,若仅仅分别给出两维 TF 和 IDF 是不够的,那样只会得到类似 a*TF + b*IDF 的结果,而不会有 c*TF*IDF 的效果。

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